圖(1)熵：揭開市場效率的科學
前言
在先前的討論「打破市場規則：如何在效率市場中取勝」中，我們探討了效率市場和無效市場兩個理論，得出結論：實際市場是這兩者的混合體。研究指出，超過六成的主動型基金長期無法超越大盤，最大的原因其實都是輸給自已。
本文將基於這些觀點，進一步介紹「熵」這一概念，幫助讀者明白如何區分哪些股票屬於效率市場，哪些則處於非效率市場。理解股票所在的市場類型，讀者就能夠更好地判斷所持有的股票，是否具備「效率」。
當您持有的股票處於「效率市場」時，就會體現尤金·法瑪（Eugene Fama）所描述的效率市場假說：即投資者很難持續戰勝大盤，因為所有關鍵信息都會在開盤時刻迅速反映在股價上。
相對地，若您持有的股票屬於「無效市場」，則反映了班傑明·葛拉漢所言：市場不總是理性的，我們面對的是充滿非理性的無效市場。
如果您的投資組合中同時包含這兩種股票，則可體會到霍華德·馬克斯（Howard Marks）的見解：「效率市場假說大部分時間都是正確的，但偶爾也會犯錯。」
在效率市場中超越大盤極為困難，多數情況下，投資者只能與大盤指數保持同步。然而，如果目標投資於市場中的「無效市場」，則依然存在超越大盤的機會。從我自身經驗中提出的案例證明了，戰勝市場不是空想，而是可能的，關鍵在於把握那些少見的無效率市場機遇。
接下來，我們將利用「熵」這一工具來衡量市場的效率。通過對這一工具和概念的探討，我們將能更加深入地理解市場效率如何影響股票價格的變動。
熵的概念
「熵」這一概念最初由克勞德·香農（Claude Shannon）在其1948年的開創性論文中提出，用來量化資訊的不確定性。這一指標，也稱為香農熵（Shannon Entropy），衡量了表示一個事件所需的位元數。
在資訊理論中，熵的大小指一個系統內事件的可能結果數量及其組合的複雜性。結果越多，組合越多，系統的熵越高，意味著不確定性越大。
舉一個直觀例子：太陽從東方升起是一個熵為零的事件，因為其發生幾乎是確定無疑的。相反，如果出現消息稱太陽將從西方升起，這條信息的熵會極高，因為這預示著某種未知的根本變化，引發了一系列問題：是銀河系發生異變了嗎？地球的自轉方向改變了嗎？我們是否還在正常的軌道上？地球的磁場有變化嗎？這些未知因素的結合造成了極高的不確定性，因此熵的值極大。
圖(2)熵的概念
因此，熵是用來計算所需「資訊量」大小的衡量單位。簡單地說，如果一個事件的結果是可預測的，那麼該事件的熵就較小，意味著資訊的不確定性較小。然而，若一個事件的結果錯綜複雜，難以預測，則意味著資訊的不確定性很大，熵的數值也就相應增大。
熵的數學表示法
熵不僅是理論上的概念，它也是一種實用的工程計算工具，其數學表達式如下所示：
\[H(X) = -\sum_{i=1}^{n} p(x_i) \log p(x_i)\]
這裡，\(H(X)\) 表示熵，\(p(x_i)\) 是事件 \(X\) 中第 \(i\) 種結果發生的概率，而求和符號 ∑ 表示將所有可能結果的熵值加總。在數位通訊中，我們常用以 2 為底的對數來計算這一表達式。
為了讓讀者更清楚地理解熵的應用，以下舉幾個生活中的常見例子：
（1）丟銅板的例子
假設有一枚銅板，其正面和反面出現的機率各為 50%。此時熵的計算為：
\[H(X) = -\left( \frac{1}{2} \times (-1) + \frac{1}{2} \times (-1) \right) = 1\]
熵為 1，這意味著我們可以用一個位元來表達這個事件的不確定性——1 表示正面，0 表示反面。
（2）單一事件成功機率 80% 的例子
若某事件成功的機率為 80%，則熵計算為：
\[H(X) = -\left( 0.8 \log_2(0.8) + 0.2 \log_2(0.2) \right)\]
\[H(x) \approx 0.722\]
此時的熵為 0.722，顯示不確定性較低，因為事件的結果相對容易預測。
（3）三個因子，成功機率共 80% 的例子
假設有三個因子影響事件結果，其中任兩項的成功機率共計 80%，則熵計算為：
\[H(X) = -\left( 0.4 \log_2(0.4) + 0.4 \log_2(0.4) + 0.2 \log_2(0.2) \right)\]
\[H(X) \approx 1.522\]
這裡的熵為 1.522，表示相對高的不確定性，需要超過一個位元來完全表達這種不確定性。
如何利用熵的概念來衡量有利賭局或投資
在本節中，我們將根據前面介紹的熵的範例，探討如何將這一概念應用於投資。在深入投資討論之前，值得一提的是眾所周知的「凱利公式」—一個專業賭徒常用的資本分配策略。據說，凱利公式的衍生基於熵的理論基礎，彰顯了熵與投資決策之間的關聯。
- 凱利公式：這是一種調整資本分配（即投注量）的策略，旨在最大化長期的預期增長率。
- 熵：幫助投資者識別市場中的無效率，進而尋找潛在的超額報酬機會。
圖(3)熵與市場效率的關係
從以上討論可見，運用熵來分析投資股票並非無的放矢，而是基於一定的邏輯理論。下面將用前述的範例來進一步解釋熵在投資中的具體意義：
- 熵 = 1：當熵值為 1 時，市場既不是完全效率也不是完全無效率。在這種情況下投資，若沒有額外的資訊，其結果與隨機投資（如丟銅板）相似，投資成功的概率就像是五五開。
- 熵＜1：熵值小於 1 表示市場反應迅速且有效，例如，當一檔股票有明顯的利多或利空消息公開時，幾乎所有市場參與者都已經知曉這些信息。這時市場效率非常高，投資者很難從中獲得超額報酬，因為任何價差都會迅速被市場吸收。
- 熵＞1：熵值大於 1 時，表明市場存在高度的不確定性和信息的不對稱，這通常出現在信息較少且不被市場廣泛關注的股票上。這類股票可能因為被錯殺或市場未能及時反映其真實價值而提供了投資機會。
熵的高低直接影響市場的效率性。對於那些能夠深入分析並理解市場不確定性的投資者而言，高熵不僅代表挑戰，更是一個機會。例如，在賭場中，21點遊戲允許熟練的玩家通過算牌獲得對抗莊家的優勢；同樣地，在投資市場上，透過深入研究和精確計算，投資者能夠在面對高熵的無效市場時獲得潛在的超額收益。
這一點可以從上一節中的範例得到印證。在相同的成功機率 80% 情況下，一個由三個因子組成的複雜系統呈現出高熵的無效市場特徵。相對地，單一事件的 80% 成功機率則表現為低熵的效率市場。若從投資的角度來看，高熵的三因子系統提供了獲得較多超額報酬的可能性。
如何找到無效市場的股票
要找到屬於無效市場的股票，我們可以觀察以下幾個典型特徵：
- 市場恐慌時期：市場恐慌通常伴隨著非理性的賣出行為，導致股票價格遠低於其內在價值。在這些時期，大多數股票可能暫時處於無效市場狀態。
- 市場泡沫：當市場過熱，泡沫經濟形成時，群體思維推高股價，遠超其合理價值，這也是無效市場的一種表現。
- 市場操控：某些大戶或投資機構可能利用其龐大的資金量影響特定股票的市場價格，使其偏離公允價值，造成市場失效。
- 低成交量：低成交量的股票通常市場流動性不足，信息較少，專注於小眾市場，這些因素均會使得股票價格發現機制變得不夠有效。
- 法人參與度低：法人參與度低意味著專業機構或專業投資人較少關注，這類股票通常也具有低成交量特徵，價格發現機制同樣無效。
- 公司訊息量很少：那些不常對外公開討論其股票信息的公司，往往缺乏市場關注的題材，導致其股價不受市場矚目，屬於典型的無效市場股票。
超額報酬就要在無效市場中尋寶
在無效市場中尋找超額報酬的關鍵在於發掘那些被法人或專業投資人忽略的股票。這些股票往往因為不確定性較高和缺乏市場炒作的題材而被市場低估。為了有效評估這些股票的內在價值，我們可以採取以下幾種估值方法：
- 評估公司的成長性：進行市場上具有相似產品的公司之間的資訊交叉比對，以及分析上下游公司的未來發展前景。這包括分析公司的營收、毛利率、營業利益率和淨利率等財務指標。
- 評估產業需求：研究上下游公司的營收或利潤變化，以及市場研究機構對產業成長性的評估。
- 公司重大計劃：考察公司是否有擴廠、增加產能的計劃，以及其工程認列營收、合併子公司的營收、折舊攤提的變化和產能利用率的變化等因素。
- 公司產品有無擴及新技術：新技術往往帶來產業的爆發性成長，若公司產品切入相關領域，不管實質貢獻大小，都有可能在題材階段雨露均霑。
- 公司結構的變化：分析除了產業供需變化外，公司經營結構的重大調整是否可能帶來轉虧為盈，甚至獲利大幅增長的機會。
- 計算公司的獲利：根據以上分析步驟，投資者應能大致估算出公司的預期每股收益（EPS），並對其預估的本益比進行橫向與縱向比較，以此判斷股價是否反映了其真實價值，從而識別出具有高潛在獲利空間且風險較小的投資機會。
結語
本文探討了如何運用「熵」這一概念來區分股票市場中屬於效率市場與無效市場的股票。在效率市場中，股票的信息量通常很大，被廣泛報導於各大財經媒體，這些股票的熵值相對較低，代表市場已高度反映了所有可用信息。對於投資者而言，雖然可以參與到股票的成長，但在短線價差上的機會卻相對有限。
另一方面，無效市場的股票通常特徵為市值較小、成交量低，且公司較少對外發布信息，市場的可見度低。這類股票可能長時間內未能真實反映其內在價值，從而屬於無效市場的範疇。
在投資世界中，尋求超額報酬往往意味著必須承擔更高的風險。這種風險主要源於市場的不確定性，這正是無效市場所提供的折價機會。普遍的、被眾多投資者和機構研究的股票可能難以提供額外的收益邊際，而那些較少被關注的股票，由於市場價格與真實內在價值的脫鉤，往往提供了更大的超額利潤空間。
因此，這些鮮為人知的股票，值得投資者花更多時間去研究。即使這些公司不常公開討論其財務狀況或業務前景，投資者仍可以通過深入分析其業績報告、財務報表、與上下游公司的相關信息以及行業前景等來挖掘可靠的信息，從而提高投資成功的概率。
本文雖然在解釋一種衡量市場效率的方法，但其實是在說明，怎樣利用相關的概念，去找到一些深具投資價值的股票，實現超額報酬與超額利潤的方法。正如華倫·巴菲特（Warren Buffett）所言：”風險來自於不知道自己在做什麼。” 深入理解熵和市場動態，就是降低投資風險的第一步，也是從無效市場中挖掘寶藏的關鍵策略。
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